전기 변위장

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목차
1. 개요2. 상세
2.1. 편극 밀도2.2. 편극성 물질의 전기 퍼텐셜2.3. 물질에서의 가우스 법칙2.4. 쉬운 버전의 정리
3. 변위장의 다른 표현4. 변위장의 회전5. 변위장의 경계 조건6. 심화: 변위장과 편미분 방정식7. 관련 예제8. 관련 문서

1. 개요 [편집]

electric displacement field · 電氣 變位場

기존 전기장은 진공에 대해서 정의되었다. 유전체 등의 편극성 물질에서는 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 이 영향을 고려한 새로운 장을 도입하였는데, 해당 장을 전기 변위장라 한다. 이 문서에서는 '전기 변위장'을 줄인 '변위장'을 혼용하여 작성하였다.

교재에 따라 '전속(電束) 밀도(Electric Flux Density)'[1], '대체 전기장' 등의 용어를 사용하나, 이 문서에선 한국물리학회에서 정한 용어를 사용하기로 한다.

기호로는 D \mathbf{D} 로 나타내며, 단위는 C/m2 \textrm{C}/\textrm{m}^{\textrm{2}} 이다. D=ϵE\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}라는 관계가 성립한다. (단, ε은 매질의 유전율, E\mathbf{E}는 전기장이다.)

2. 상세 [편집]

2.1. 편극 밀도 [편집]

위에서 지적했듯, 편극성 물질의 경우 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 전기 쌍극자가 내부에 모인 것으로 해석할 수 있다. 따라서 조밀한 전하 분포에 대해서 밀도의 개념을 사용했듯, 여기서도 밀도의 개념을 사용하는 것이 편리하다. 따라서 단위 부피당 전기 쌍극자 p \mathbf{p} 를 편극 밀도(Polarization) P \mathbf{P} 라 한다. 즉,

p=PV \displaystyle \mathbf{p}=\mathbf{P}V

가 성립한다. 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,

p=∭P(r′) dV′ \displaystyle \mathbf{p}=\iiint \mathbf{P}(\mathbf{r'})\,dV'

가 된다.

여기서 인지해야 할 점은 이러한 편극 밀도를 생각 할 수 있는 것은 거시적인 관점(Macroscopic View)에서 어떠한 계(System)를 바라볼 때라는 것이다. 예를 들면, 고전적인 원자핵 또는 전자 하나하나를 관찰할 때는 이러한 편극을 생각 할 수 없을 것이다.

2.2. 편극성 물질의 전기 퍼텐셜 [편집]

전기 쌍극자 문서에서 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.

Φ(r)=p4πε0⋅r−r′∣r−r′∣3 \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}}

편극 밀도를 도입하면,

Φ(r)=∭VP(r′)4πε0⋅r−r′∣r−r′∣3 dV′=∭VP(r′)4πε0⋅ξ^ξ2 dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}}\,dV' = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}}\,dV'

여기서 V V 는 편극성 물질에 해당하는 영역이고, r−r′≡ξ \mathbf{r}-\mathbf{r'} \equiv \boldsymbol{\xi} 를 이용했다. 이때,

∇(1ξ)=−ξ^ξ2∇′(1ξ)=ξ^ξ2 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}} \qquad \qquad \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}}

를 고려하자. 프라임은 원천 지점(r′ \mathbf{r'} )을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서

Φ(r)=∭VP(r′)4πε0⋅∇′(1ξ) dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV'

로 쓸 수 있고, 벡터 항등식에서

P(r′)⋅∇′(1ξ)=∇′⋅[P(r′)ξ]−1ξ[∇′⋅P(r′)] \displaystyle \mathbf{P(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right)= \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] - \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right]

이 성립하므로 위에서 구했던 전기 퍼텐셜은

Φ(r)=14πε0∭V∇′⋅[P(r′)ξ] dV′−14πε0∭V1ξ[∇′⋅P(r′)] dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] \,dV'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV'

발산 정리를 쓰면,

Φ(r)=14πε0∯SP(r′)ξ⋅ da′−14πε0∭V1ξ[∇′⋅P(r′)] dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \cdot \,d \mathbf{a}'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV'

로 된다. S S 는 편극성 물질을 둘러싸는 폐곡면이다. 이것을 최종적으로 다음과 같은 형태로 밝혀적으면,

Φ(r)=14πε0[∯S[P(r′)⋅n^] da′ξ+∭V[−∇′⋅P(r′)] dV′ξ] \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{ \left[ \mathbf{P(r')} \cdot \hat{\mathbf{n}} \right] \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\left[- \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \right] \,dV'}{\xi} \right]

가 된다.

유의해야 할 것은 n^ \hat{\mathbf{n}} 은 편극성 물질 표면에 대한 법선 벡터임을 인지하여야 한다는 것이다. 이것은 추후에 논의할 '전기 변위의 경계 조건' 등에서 경계면의 법선 벡터와 헷갈릴 가능성이 높으니 잘 인지하여야 한다.

위 결과에서

P(r′)⋅n^≡σP−∇′⋅P(r′)≡ρP \displaystyle \mathbf{P(r')} \cdot \hat{\mathbf{n}} \equiv \sigma_{P}\qquad \qquad- \boldsymbol{\nabla} ' \cdot \mathbf{P(r')} \equiv \rho_{P}

로 정의하고 각각 표면 속박 전하 밀도(Bound surface charge density), 부피 속박 전하 밀도(Bound volumetric charge density)라 한다. 따라서 위 식을 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

Φ(r)=14πε0[∯SσP da′ξ+∭VρP dV′ξ] \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{\sigma_{P} \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\rho_{P} \,dV'}{\xi} \right]


위의 논의는 편극성 물질을 분석할 때, 처음 전기 쌍극자를 생각하여 들어갔고, 그 전기 쌍극자를 전하로 취급할 수 있음을 얻는다. 주의할 것은 여기서 나온 '속박 전하'는 분극에 의해 생성되는 전하임을 인지하여야 하여야 한다. 즉, 대전 등으로 생긴 '자유 전하(Free charge)'와는 성질 또한 다르다.[주의]

이상에서 편극된 물질은 본래 중성이라는 점을 생각하면, 총 속박 전하는 0 0 이 돼야 한다.

∯SσP da′+∭VρP dV′=0 \displaystyle \oiint_{S} \sigma_{P} \,da' + \iiint_{V} \rho_{P} \,dV'=0

2.3. 물질에서의 가우스 법칙 [편집]

윗 문단에서 편극성 물질에서 편극이 일어났을 경우 속박 전하가 존재한다는 것을 알아내었다. 따라서 편극된 물질에서 가우스 법칙을 적용하면, 엄연히 대전 등으로 생긴 자유 전하 뿐만 아니라 이 속박된 전하까지 생각해줘야 하므로 가우스 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.

∇⋅E=ρf+ρPε0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = {\rho_{f}+\rho_{P} \over \varepsilon_0}

ρf \rho_{f} , ρP \rho_{P} 는 각각 '부피 자유 전하 밀도', '부피 속박 전하 밀도'이다.

그런데 윗 문단에서 ρP≡−∇⋅P \rho_{P} \equiv - \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P} 이었으므로

∇⋅E=ρfε0−∇⋅Pε0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} =\frac {\rho_{f}}{\varepsilon_0}-\frac{\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P}}{\varepsilon_{0}}

따라서

∇⋅(ε0E+P)=ρf \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \right) = {\rho_{f}}

형태로 쓸 수 있고, 이상에서 나온

ε0E+P≡D \displaystyle \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \equiv \mathbf{D}

로 정의하고, 이것을 전기 변위장라 한다.

따라서 물질에서의 가우스 법칙을 미분형과 적분형을 각각 다음과 같이 쓴다.

∇⋅D=ρf∯D⋅da=∭Vρf dV′≡Qf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D} = {\rho_{f}} \qquad \qquad \oiint \mathbf{D} \cdot d \mathbf{a} =\iiint_{V} \rho_{f} \,dV' \equiv Q_{f}

2.4. 쉬운 버전의 정리 [편집]

원래 전기장 E\mathbf{E}는 진공에서 정의 되었고, 맥스웰 방정식도 이 장을 이용한다. 하지만 이제 진공이 아니라 어떠한 물체를 고려해보라. "자유전하" QfQ_f를 어딘가에 놓아서 물체에 전기장이 가해지면, 이 물체의 원자들 안에 있는 핵과 전자들이 살짝 분리되어, 쌍극자 모멘트를 만든다. 이 쌍극자 모멘트들은 스스로 또 전기장을 만든다. 따라서 가장 일반적인 가우스의 법칙

∬ε0E⋅da=Qenc \displaystyle \iint\varepsilon_0\mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}=Q_{\text{enc}}

의 우항인 QencQ_{\text{enc}}는 QfQ_f뿐만 아니라, SS라는 폐곡면 근처에서 전하 분리 때문에 안으로 들어오는 또는 밖으로 나가는 전하들까지 일일이 다 고려해주어야 한다. 너무 골치가 아프다. 그래서 진공이 아니어도 가우스의 법칙의 우항이 그냥 QfQ_f가 되도록 새로운 벡터장을 정의하자.

이 전하 분리 때문에 폐곡면 SS가 둘러싸는 전하의 변화량을 QiQ_i라고 칭하자. 그렇다면 가우스 법칙은

∬Sε0E⋅da=Qf+Qi \displaystyle \iint_{S} \varepsilon_0\mathbf{E} \cdot d \mathbf{a} =Q_f+Q_i

우리들의 목적은 QiQ_i를 좌항에 있는 전기장과 어떻게든 '합체'시키는 것이다. 그러면 QfQ_f만 우항에 남고, 기존의 가우스의 법칙과 똑같은 형태가 될테니까.

먼저, 폐곡면 SS 근처에 있는 아주 작은 미세 부피 ΔV\Delta V를 보자. 이 안에 있는 부피당 전하량은 q/ΔV{q}/{\Delta V}고, 적절하게 적분을 하면 QiQ_i를 알아낼 수 있을 것이다.

일단 전기 쌍극자는 분리된 전하의 크기와 분리 거리를 통해 정의 되는데, 분리 거리가 길면 길수록 폐곡면을 넘나드는 전하가 많을 것이다. 따라서 폐곡면의 면적당 QiQ_i의 크기는 (q⋅d)/ΔV{(q \cdot d)}/{\Delta V}다.(단, dd는 이 작은 미소부피 안에서 생기는 쌍극자 모멘트의 거리) 쌍극자 모멘트를 벡터량으로써 정의할때 방향은 음전하에서 양전하로 정한다. 생각해보면, 쌍극자 모멘트가 바깥쪽으로 향한다면 양전하가 폐곡면을 나간다는 뜻이므로 마이너스가 붙는다. 따라서 면적당 QiQ_i, 즉 Qi/ΔS{Q_i}/{\Delta S}는 −(q⋅d)/ΔV-{(q \cdot d)}/{\Delta V}. 정리하면

QiΔS=−q⋅dΔV \displaystyle \frac{Q_i}{\Delta S} = -\frac{q \cdot d}{\Delta V}

좌항의 분자는 미소부피 안에 있는 쌍극자 모멘트다. 그러므로 우항은 "쌍극자 밀도"또는 "편극 밀도"라고 볼 수 있다. 이것을 P\mathbf{P}라 칭한다. 이제 이 편극밀도를 폐곡면에 대해 면적분 하면 QiQ_i다.

Qi=−∬SP⋅da \displaystyle Q_i= -\iint_{S} \mathbf{P} \cdot d\mathbf{a}

이제 다시 가우스의 법칙으로 돌아가서 이걸 좌항으로 옮기면

∬S(ε0E+P)⋅da=Qf \displaystyle \iint_{S} (\varepsilon_0\mathbf{E+P}) \cdot d\mathbf{a} =Q_f

진공에서의 가우스 법칙과 유사하지 않은가? 이제 기다리던 변위장의 정의다.

D≡ε0E+P \displaystyle \mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E+P}

3. 변위장의 다른 표현 [편집]

선형 편극성 물질에 대한 편극 밀도는 다음과 같이 나타내어 진다.[3]

P=ε0χeE \displaystyle \mathbf{P} = \varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E}

여기서 χe \chi_e 는 전기장에 대한 '감수율(Electric Susceptibility)'이다. 따라서 변위장은

D=(1+χe)ε0E \displaystyle \mathbf{D} = (1+\chi_{e})\varepsilon_{0}\mathbf{E}

으로 나타낼 수 있고,

1+χe≡κ \displaystyle 1+\chi_{e} \equiv \kappa

로, '유전 상수'로 정의하고, 또다시

κε0≡ε \displaystyle \kappa \varepsilon_{0} \equiv \varepsilon

으로 그 물질에 대한 유전율로 정의하여, 변위장을

D=εE \displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}

으로 쓸 수 있다.

유전율에 대한 자세한 내용은 유전율 문서를 참고할 것을 권한다.

4. 변위장의 회전 [편집]

전기장은 비회전장으로서,

∇×E=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = 0

가 성립함을 전기장 문서에서 다뤘다. 그렇다면, 변위장 또한 전기장과 유사한 점이 있는데, 과연 회전 또한 같이 0 0 이 나온다는 생각을 할 수도 있다. 결론부터 말하면, 아니다.

변위장의 회전을 취해보면,

∇×D=∇×(ε0E+P)=∇×P \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{D}=\boldsymbol{\nabla} \times (\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P})=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{P}

이고, 일반적으로 P \mathbf{P} 의 회전이 0 0 이 되지 않기 때문에 변위장은 비회전장이 아님을 알 수 있다. 따라서 어떤 스칼라 함수의 그레이디언트를 취한 값이 변위장으로 환원되지 않기 때문에 변위장의 퍼텐셜은 존재하지 않는다. 더불어서 같은 이유로 변위장은 쿨롱 법칙과 같은 수법 또한 존재하지 않는다.

5. 변위장의 경계 조건 [편집]

파일:나무_변위장_경계조건-01.png

위 그림과 같이 물질이 다른 두 매질 I, II를 고려하자. 전기장 문서에서 '전기장의 경계 조건'을 결과를 가져오면,

E2⋅n^−E1⋅n^=σε0 \displaystyle \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma }{ \varepsilon_{0} }

이다. 이때, 경계면의 전하 밀도 σ \sigma 는 표면 자유 전하 밀도 σf \sigma_{f} 뿐만 아니라, 표면 속박 전하 밀도 또한 존재한다. 따라서 매질 I, II에서 표면 속박 전하 밀도를 σP1 \sigma_{P_{1}} , σP2 \sigma_{P_{2}} 하면,

σ=σf+σP1+σP2 \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+\sigma_{P_{1}}+\sigma_{P_{2}}

이고, 정의에 따라

σP1=P1⋅n^,   σP2=P2⋅(−n^) \displaystyle \sigma_{P_{1}}=\mathbf{P_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}, \,\,\, \sigma_{P_{2}}=\mathbf{P_{2}} \cdot (-\hat{\mathbf{n}})

이므로

σ=σf+(P1−P2)⋅n^ \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+ (\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \cdot \hat{\mathbf{n}}


이상에서

E2⋅n^−E1⋅n^=σfε0+(P1−P2)⋅n^ε0 \displaystyle \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma_{f} }{ \varepsilon_{0} }+\frac{(\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \cdot \hat{\mathbf{n} } }{\varepsilon_{0}}

이것을 다시 쓰면,

[(ε0E2+P2)−(ε0E1+P1)]⋅n^=σf \displaystyle \left [ \left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{2}}+\mathbf{P_{2}} \right )-\left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{1}}+\mathbf{P_{1}} \right ) \right ] \cdot \hat{\mathbf{n}}=\sigma_{f}

결론적으로 아래와 같은 보존장의 경계 조건이 도출되게 된다.

D2⋅n^−D1⋅n^=σf \displaystyle \mathbf{D_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}={ \sigma_{f} }

주목해야 할 것은, 경계면에 표면 자유 전하 밀도가 존재하지 않으면,

D1⋅n^=D2⋅n^ \displaystyle \mathbf{D_{1}} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{D_{2}} \cdot \hat{\mathbf{n}}

로, 변위장의 수직 성분은 연속이 됨이 알 수 있다.

또한, 매질 i i 에서 유전율을 εi \varepsilon_{i} 라 하고, Ei=−∇Φi \mathbf{E}_{i}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{i} 와 Di=εiEi \mathbf{D}_{i}=\varepsilon_{i}\mathbf{E}_{i} 임을 이용하면,

ε1∂Φ1∂n−ε2∂Φ2∂n=−σf \displaystyle \varepsilon_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}-\varepsilon_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n}=-\sigma_{f}

으로도 쓸 수 있다.

또 하나의 경계 조건은, 전기장 자체는 보존장이므로

E1⋅t^=E2⋅t^ \displaystyle \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}= \mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{t}}

이 성립한다. t^ \hat{\mathbf{t}} 은 경계면의 접선 방향의 벡터이다.

6. 심화: 변위장과 편미분 방정식 [편집]

전기 퍼텐셜 문서에서 진공 중의 상황을 다룰 때, 푸아송 방정식을 푸므로써 어떤 정전기학적 상황에 대한 퍼텐셜을 결정할 수 있고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 함으로써 장 또한 결정할 수 있음을 논의했다. 이 문단에서는 구하는 영역에 편극성 물질이 있을 때도 유사한 방법을 적용할 수 있는지 보고자한다.

위에서 변위장의 발산이

∇⋅D=ρf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}=\rho_{f}

라고 했다. 이때, 물질이 단순하다면, 전기장과 변위장과의 관계는 D=εE\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}로 쓸 수 있어,

∇⋅(εE)=ρf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot (\varepsilon \mathbf{E})=\rho_{f}

가 된다. 그런데, 전기장과 전기 퍼텐셜은 E=−∇Φ\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi의 관계가 있음에 따라

∇⋅(ε∇Φ)=−ρf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot (\varepsilon \boldsymbol{\nabla} \Phi)=-\rho_{f}

벡터 항등식에 의해

ε∇2Φ+∇ε⋅∇Φ=−ρf\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f}

가 된다. 이때, 편극성 물질의 유전율이 델 연산과 무관하다면, 좌변의 제 2항은 0이 됨에 따라 다음의 푸아송 방정식을 얻는다:

∇2Φ=−ρfε\displaystyle \nabla^{2} \Phi=-\frac{\rho_{f}}{\varepsilon}

다만, 편극성 물질의 유전율이 델 연산에 의존한다면, 좌변의 제 2항은 0이라 할 수 없으므로 방정식

ε∇2Φ+∇ε⋅∇Φ=−ρf\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f}

을 풀어야 함에 유의하여야 한다.

따라서 위의 방정식을 풀고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 취하면, 장을 결정할 수 있음을 얻는다.

7. 관련 예제 [편집]

8. 관련 문서 [편집]

[1] 'Cheng의 전자기학' 교재가 대표적이다.[주의] 해당 '속박 전하'는 수학적 처리 과정에서 나온 트릭 등으로 생각하면 매우 곤란하다. 속박 전하의 물리적 해석에 관한 내용은 이 문서에서 다루는 것에서 벗어나기 때문에 다루지 않으나, 엄현히 '속박 전하'는 물리적으로 의미가 있는 전하임을 인지해야 한다.[3] 선형 편극성 물질이 아니라면, χe \chi_e 는 스칼라가 아닌, 텐서가 된다.

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